高考题2020年全国Ⅲ(文)( )

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数且 t ≠ 1), C 与坐标轴交于 A, B 两点.

(1) 求 |AB|;

(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 AB 的极坐标方程.

(1) 因为 t≠1, 由 2 − t − t2 = 0 得 t = −2, 所以 C 与 y 轴的交点为 (0, 12); 由 2 − 3t + t2 = 0 得 t = 2,

所以 C 与 x 轴的交点为 (−4, 0). 故 |AB| = 4.

(2) 由 (1) 可知, 直线 AB 的直角坐标方程为 x/(-4)+  y/12 = 1, 将 x = ρcosθ, y = ρsinθ 代入, 得直线 AB 的极坐标方程 3ρcosθ − ρsinθ + 12 = 0.

高考题2020年全国Ⅱ( )

已知 C1, C2 的参数方程分别为 C1 :(θ为参数), C2 : (t 为参数) ,

(1) 将 C1, C2 的参数方程化为普通方程;

(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 C1, C2 的交点为 P , 求圆心在极轴上, 且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.

(1) C1 的普通方程为 x + y = 4(0 ⩽ x ⩽ 4).

由 C2 的参数方程得 x2 = t2 + 1/t2  + 2, y2 = t2 + 1/t2  − 2, 所以 x2 − y2 = 4. 故 C2 的普通方程为 x2 − y2 = 4.

(2) 由 得  .

所以 P 的直角坐标为 (5/2 , 3/2).

设所求圆的圆心的直角坐标为(x0, 0), 由题意得  = (x0-5/2)2 + 9/4, 解得 x0 =17/10.

因此,所求圆的极坐标方程为 ρ = 17/5cos θ.

高考题2020年北京大学( )

已椭圆 +y2 =1,圆x2 + y2=4,从圆上一点作椭圆的切点弦,求切点弦所围成的面积.

如图,设圆上一点(2cost,2sint),对应切点弦方程即为极线方程:xcost+2ysint=1,

由于椭圆 x2/a2  + x2/b2  =1在(accost,bsint)处的切线方程为xcost/a + ysint/b =1,则a=1,b=1/2,围成椭圆x2 + 4y2 =1,面积为π/2.

高考题2020年全国Ⅰ( )

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ + 3 = 0.

(1) 当 k = 1 时, C1 是什么曲线?

(2) 当 k = 4 时, 求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标.

(1) 当 k = 1 时, C1 : , 消去参数 t 得 x2 + y2 = 1.

故曲线 C1 是圆心为坐标原点, 半径为 1 的圆.

(2) 当 k = 4 时, C1 : , 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方程为 + = 1.

C2 的直角坐标方程为 4x − 16y + 3 = 0.

解得 .

故 C1 与 C2 的公共点的直角坐标为().