因为p,q为实数，p≠0,z_1,z_2为虚数，所以(-2p)²-4q<0,q>p²>0.

由z₁,z₂为共轭虚数，知z₁,z₂关于x轴对称，

所以椭圆短轴在x轴上.

又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一个端点.

根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程与系数的关系，可得椭圆的

短轴长=2b=|z₁ + z₂ |=|2p|=2|p|,

焦距=2c=|z₁ - z₂ | =  =2,

长轴长=2a=2=2.

因为复数z=+i的实部与虚部都是非负数，所以z的辐角主值θ一定适合0≤θ≤π/2.

从而0≤θ≤π/4⇔0≤tanθ≤1.

显然 r=|z|≠0.

因为tanθ=sinθ/cosθ===,

所以0≤tanθ≤1⇔0≤√(|tant| )≤1⇔0≤|tant|≤1⇔-1≤tant≤1.

由于y=tant在-π/2<t<π/2内是增函数，并且它的周期是π，因此-1≤tant≤1的解是

kπ-π/4≤t≤kπ+π/4（k为任意整数）.

复数z=+i的模r=|z|为

r=

=.

要对任意实数t，有r≤，只要证对任意实数t，|cost|+|sint|≤成立.

对任意实数t，因为|cost|²+|sint|²=1，

所以可令cosφ=|cost|,sinφ=|sint|，

于是|cost|+|sint|=cosφ+sinφ

=(/2 cosφ+/2 sinφ) 

=sin(π/4+φ)≤∙1= .

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