证 明 题（数学分析·2022年·北京理工大学）

已知y=arctanx.

(1)证明：2xy'+(1+x² )y''=0;

(2)求y⁽ⁿ⁾.

解答提示

(1)由y=arctanx，可得y'=1/(1+x2),y''=(-2x)/(1+x2)2,∴2xy'+(1+x2) y''=2x∙1/(1+x2)+(1+x2)∙(-2x)/(1+x2)2=0.(2)由(1)得f' (x)=1/(1+x2)=1/2i (1/(x-i)-1/(x+i)),∴f(n) (x)=1/2i [(1/(x-i))(n-1)-(1/(x+i))(n-1) ]=((-...

查看完整答案，请下载word版