证 明 题（理工数学Ⅰ·2020年·全国统考）

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：

(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；

(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

解答提示

(1)由题设，f(x)在[0,2]上连续，且M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2].若M=0，则结论成立；若M>0，则∃x0∈(0,2)，使|f(x0 )|=M.若0<x0≤1，由拉格朗日中值定理得|f' (ξ)|=|(f(x0 )-f(0))/(x0-0)|=(|f(x0)|)/x0 =M/x0 ≥M,ξ∈(0,x0)⊂(0,2)若1<x0≤2，由拉格朗日中值定理得|f' (ξ)|=|(f(2)-f(x0 ))/(2-x0 )|=(|f(x0)|)/(2-x0 )=M/2-x0 ≥M,ξ∈(x0,2)⊂(0,2)(2)由(1)知，∃x0∈(0,2)，使|f(x0 )|=M，则M=|f(x0 )|=|f(x0 )-f(0)|=|∫0x0f' (x) dx...

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