证 明 题（数学·2021年5月·阿里巴巴）

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):

(Sf)(x)=e^2πiux f(u)du.

(i)问答题（10分） 求S(1/(1+x²))和S(1/(1+x²)² )的显示表达式。

(ii)问答题（15分）对任意整数k，记f_k(x)=(1+x²)^-1-k.假设k≥1，找到常数c₁,c₂使得函数y=(Sf_k)(x)满足二阶常微分方程

xy''+c₁y'+c₂xy=0.

解答提示

记V为R上的复数值、连续、绝对可积的函数组成的线性空间.Lemma 0.1(i)若f(x)∈V,f'(x)∈V且f(x)=0，则(Sf')(x)=-2πix(Sf)(x). （1）(ii) 若f(x)∈V,xf(x)∈V，则(Sf)'=2πiS(xf(x)). （2）引理0.1的证明.(i)(Sf')(x)=e2πiuxf'(u)du=e2πiuxf(u) - (e2πiux)' f(u)du=-2πixe2πiuxf(u)du=-2πix(Sf)(x)(ii)对任意的a,b∈R(a<b),2πiS(xf(x))dx=2πi(e2πiuxuf(u)du)dx=(2πiue2πiuxf(u)dx)du=e2πibuf(u)du - e2πiauf(u)du=(Sf)(b)-(Sf)(a).这样，(Sf)'=2πiS(xf(x)).引理0.1有如下推论.Corollary 0.2 (i)假设f,f',Sf,x(Sf)(x)∈V且f(x)=0.若(S(Sf))(x)=f(-x)，则(S(Sf' ))(x)=f'(-x).(ii)假设f(x),xf(x),Sf,(Sf)'∈V且⁡(Sf)(x)=0.若(S(Sf))(x)=f(-x)，则S(S(xf(x)))=-xf(-x).Lemma 0.3 (i) S((1+x2)-1)=πe-2π|x|.(ii)S(πe-2π|x| )=(1+x2)-1.Proof. (i)记f(x)=(1+x2)-1.对于x≥0,我们有(Sf)(x)=e2πiux/(1+u2)du.记CA≔{z=u+iv:-A≤u≤A,v=0}∪{z=Aeiθ:0≤θ≤π}.注意到当A>1时，i是1/(1+z2 )在CA界定的有界区域内的唯一极点.由回路积分的方法并令A→∞，我们得到(Sf)(x)=πe-2πx.由于f(x)是偶函数，所以(Sf)(x)也是偶函数.这样，(Sf)(x)=πe-2π|x|.(ii)记g(x)=πe-2π|x|.直接计算得(Sg)(x)=e2πixuπ...

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