证 明 题（数理方程·2003年春·电子科技大学）
设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得
f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).
解答提示
设ϕ(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)ωn+1 (t)视x为(a,b)上的一个固定点，且x≠xi (i=0,1,…,n)则ϕ(x)=0,ϕ(xi )=0,(i=0,1,…,n)由Rolle定理，在ϕ(t)的任何两个零点之间必存在一点η，使得ϕ'(η)=0，于是ϕ'(...
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设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.
证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.