计 算 题（1976年·莫斯科石油与天然气工业学院）
设实系数一元n次方程
P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)
的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
解答提示
设方程P(x)=0的n个实根为c1，c2，…，cr，d1，d2，…，dl其中c1，c2，…，cr为单根；d1，d2，…，dl为重根，其重数依次为k1，k2，…，kl（kj≥2，j=1，2，…，l），则r+k1+k2+…+kl=n对于重根dj（j=1，2，…，l），多项式P(x)可写为P(x)=(x-dj)kjQ(x)，Q(dj)≠0则P′(x)=kj(x-dj)kj-1Q(x)+(x-dj)kjQ′(x)=(x-dj)kj[kjQ(x)+(x-dj)Q′(x)]由于kjQ(x)+(x-dj)Q′(x)|x=dj=kjQ(dj) ≠ 0，所以x=dj是方程P′(x)=0的...
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设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.
证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.