证 明 题（理工数学Ⅱ·2023年·全国统考）
设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：
(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；
(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.
解答提示
(Ⅰ) f(x)=f(0)+f' (0)x+f''(η)/2! x2=f' (0)x+f''(η)/2! x2,η介于0于x之间，则f(a)=f' (0)a+f''(η1)/2! a2,0<η1<a.①f(-a)=f' (0)(-a)+f'' (η2 )/2! a2,-a<η2<0.②①+②得：f(a)+f(-a)=a2/2[f'' (η1 )+f''(η2)].③又f''(x)在[η1,η2]上连续，由必有最大值M与最小值m，即m≤f'' (η1 )≤M,m≤f'' (η2 )≤M，从而m≤(f'' (η1 )+f'' (η2 ))/2≤M.由介值定理得：存在ξ∈[η2,η1]⊂(-a,a)，使得f'' (ξ)=(f'' (η1 )+f'' (η2 ))/2，代入③得：f(a)+f(-a)=a2 f''(ξ)，即f'' (ξ)=(f(a)+f(-a))/a2 .(Ⅱ)设f(x)在x=x0∈(-a,a)取极值，且f(x)在x=x0可导，则f' (x0 )=0.又f(x)=f(x0 )+f' (x0 )(x-x0 ...
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设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.
证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.