证 明 题（经济数学Ⅲ·2022年·全国统考）
已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，
(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；
(2)证明minx≠0f(x)/(xT x)=2.
解答提示
(1)令A=，由|λE-A|==(λ-4)2 (λ-2)=0，得A的特征值为λ1=λ2=4,λ3=2.当λ=2时，(2E-A)=0的基础解系为α1=(1,0,-1)T.当λ=4时，(4E-A)x=0的基础解系为α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,0)T;α1,α2,α3已相互正交，故只需将其单位化，得γ1=1/√2 (1,0,-1)T,γ2=1/√2 (1,0,1)T,γ3=(0,1,0)T.令Q=(γ1,γ2,γ3 )T，经正交变换x=Qy将f化为标准形2y12...
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二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】
设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。
设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。
设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。
设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.
设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.
设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。