求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1 x2+4x1 x3-8x2 x3成标准形.
二次型的矩阵为A=,对于A的特征多项式为|λE-A|==λ2 (λ-9),所以特征值为λ1=λ2=0,λ3=9.解(λ1 E-A)x=-Ax=0,得对于λ1=λ2=0的两个正交特征向量为ξ1=(0,1,1)T,ξ2=(4,1,-1)T.解(λ3 E-A)x=(9E-A)x=0,得对于λ3=9的特...
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二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】
设A是n级实对称矩阵,证明rank(A)=n的充要条件是:存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。
设S1,S3为实对称矩阵,S2为实矩阵,则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。
设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后,tI+A是正定矩阵,其中I表示单位矩阵。
设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明:f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型,其中符号|∙|表示行列式.
设A=为n×n正定矩阵,证明:|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.
设A是n阶正定矩阵,B为n阶实方阵,证明:(1)若B'=B,则AB的特征值为实数;(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0;(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。