证 明 题（数学·2022年·新高考Ⅱ）
设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±√3 x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在AB上；②PQ//AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解答提示
（1）右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3 x，∴b/a=√3，∴b=√3 a，∴c2=a2+b2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．∴C的方程为：x2-y2/3=1；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0-2)⇔ky0=k2 (x0-2)；两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,联立消去y并化简整理得：(k2-3) x2-4k2 x+4k2=0设A(x3,y3 ),B(x3,y4 ),线段中点为N(xN,yN ),则xN=(x3+x4)/2=(2k2)/(k2-3),yN=k(xN-2)=6k/(k2-3),设M(x0,y0 ),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0-x3 )2+(y0-y3 )2=(x0-x4 )2+(y0-y4 )2,移项并利用平方差公式整理得：(x3-x4 )[2x0-(x3+x4 )]+(y3-y4 )[2y0-(y3+y4 )]=0，[2x0-(x3+x4 )]+(y3-y4)/(x3-x4 ) [2y0-(y3+y4 )]=0,即x0-xN+k(y0-yN )=0,即x0+ky0=(8k2)/(k2-3)；由题意知直线PM的斜率为-√3, 直线QM的斜率为√...
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设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.
已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .
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