1981年全国统考高考试题-几何-解析几何-双曲线

证明题（数学·1981年·全国统考）

给定双曲线x²-y²/2=1.

(1) 过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程.

(2) 过点B(1,1)能否作直线过点m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解答提示

(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1,①代入双曲线方程，得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0.②又设P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2 ),P(,)，则x1, x2必须是②的两个实根，所以x1+x2=(4k2-2k)/(k2-2)(k2-2≠0).按题意=1/2 (x1+x2 )=(2k2-k)/(k2-2).因为(,)在直线①上，所以=k(-2)+1=k(-2)+1=2(2k-1)/(k2-2).再由,y ̅的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为...

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几何

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为【】

已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为【】

如图, 在三棱锥 P − ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD,cos ∠CAE = 30◦, 则 cos ∠FCB = .

已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC = AC = OO1，则球 O 的表面积为【】

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点, ∠APC = 90°.(1) 证明: 平面 PAB ⊥ 平面 PAC;(2) 设 DO = , 圆锥的侧面积为π, 求三棱锥 P − ABC 的体积.

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【】

已知 △ABC 是面积为(9)/4 的等边三角形, 且其顶点都在球 O 的球面上, 若球 O 的表面积为 16π, 则 O到平面 ABC 的距离为【】

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = .

△ABC 中, sin2A − sin2B − sin2C = sinBsinC.(1) 求 A;(2) 若 BC = 3, 求 △ABC 周长的最大值.

解析几何

已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【】。

已知 ⊙M : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【】

设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.

已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【】

设向量 a = (1, −1), b = (m + 1, 2m − 4), 若 a ⊥ b, 则 m = .

△ABC 的内角为 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 B = 150◦.(1) 若 a = c, b = 2, 求 △ABC 的面积;(2) 若 sin A + sin C =/2 , 求 C.

双曲线

设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的面积为【】

设O为坐标原点, 直线x = a与双曲线 C : x2/a2 - y2/b2 =1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于 D, E 两点. 若△ODE的面积为8, 则 C 的焦距的最小值为【】

设双曲线 C : x2/a2 − y2/b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线为 y = x, 则 C 的离心率为.

设双曲线 C : x2/a2 -y2/b2 =1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2, 离心率为. P是 C 上一点, 且 F1P⊥F2P . 若 △PF1F2 的面积为 4, 则 a =【】

已知双曲线 C :x2/6-y2/3=1, 则 C 的右焦点的坐标为; C 的焦点到其渐近线的距离是 .

设双曲线 C 的方程为 x2/a2 -y2/b2 =1 (a > 0, b > 0), 过抛物线 y2 = 4x 的焦点和点 (0, b) 的直线为 l. 若 C 的一条渐近线与 l 平行, 另一条渐近线与 l 垂直, 则双曲线 C 的方程为【】.

双曲线C1: x2/4-y2/b2 =1 与圆 C2 : x2 + y2 = 4 + b2 (b > 0) 交于点 A(xA, yA), 曲线 Γ 满足 x > |xA| 并在曲线 C1、C2 上.(1) 若 xA=, 求 b 的值;(2) b =, 圆 C2 与 x 轴交于点 F1, F2, P 在第一象限, |PF1| = 8, 求 ∠F1PF2;(3) 点 D(0,b2/2+2), 过该点的直线斜率为 -b/2 的直线 l 和 Γ 只有两个交点, 记作 M, N, 用 b 表示 ∙,并求其取值范围.

在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2/a2 -y2/5=1 (a > 0) 的一条渐近线方程为 y=/2 x , 则该双曲线的离心率是.

给定双曲线x2-y2/2=1.(1) 过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2) 过点B(1,1)能否作直线过点m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

已知方程x2/(2+λ)-y2/(1+λ)=1表示双曲线，求λ的取值范围.