证 明 题（数学·2020年·上海市）
双曲线C1: x2/4-y2/b2 =1 与圆 C2 : x2 + y2 = 4 + b2 (b > 0) 交于点 A(xA, yA), 曲线 Γ 满足 x > |xA| 并在曲线 C1、C2 上.
(1) 若 xA=
, 求 b 的值;
(2) b =
, 圆 C2 与 x 轴交于点 F1, F2, P 在第一象限, |PF1| = 8, 求 ∠F1PF2;
(3) 点 D(0,b2/2+2), 过该点的直线斜率为 -b/2 的直线 l 和 Γ 只有两个交点, 记作 M, N, 用 b 表示 
∙
,并求其取值范围.
解答提示
(1) 由于点 A 在 C1, C2 上, 当x_A= 时, 代入曲线方程有 , 且 b > 0, 解得yA= ,b=2. 所以 b 的值为 2.(2) 当 b = 时, 双曲线 C1 方程即x2/4-y2/5=1, 圆 C2 方程即 x2 + y2 = 9.因为 F1, F2 为圆 C2 与 x 轴的左右交点, 所以 F1(−3, 0), F2(3, 0), 恰为双曲线的左右焦点.因为 P 在双曲线 C1 的第一象限图像上, 且 |PF1| = 8, 所以 PF1 − PF2 = 2a = 4, 所以解得 |PF2| = 4.在 △PF1F2 中, |PF1| = 8, |PF2| = 4, |F1F2| = 6, 所以cos∠F1 PF2==(16+64-36)/(2×4×8)=11/16 . 所以，∠F1 PF2=arccos 11/16 .(3) 依题意直线 l 的方程为 y=-b/2 x+2+b2/2 . (先判断直线与曲线 C1 与 C2 的关...
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埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 【】
已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为 【 】
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若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【 】
如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的 点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【 】
已知 △ABC 是面积为(9)/4 的等边三角形, 且其顶点都在球 O 的球面上, 若球 O 的表面积为 16π, 则 O到平面 ABC 的距离为【 】
己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = .
△ABC 中, sin2A − sin2B − sin2C = sinBsinC.(1) 求 A;(2) 若 BC = 3, 求 △ABC 周长的最大值.
已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.
已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .
已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.
已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【 】