证 明 题（数学·2024年·上海市）
对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，定义s(x)=(x-a)²+(f(x)-b)² ，若点P(x0 ,f(x0 ))是s(x)取到最小值的点，则称点P是M在f(x)的“最近点”.
(1)对于f(x)=1/x(x>0)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得P是M在f(x)的“最近点”；
(2)对于f(x)=ex,M(1,0)，请判断是否存在一个点P，它是M在f(x)的“最近点”，且直线MP与y=f(x)在P处的切线垂直；
(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x)，函数g(x)在定义域R上恒正，设点M1 (t-1,f(t)-g(t)),M2 (t+1,f(t)+g(t))，若对任意t∈R，存在点P同时是M1,M2在f(x)的“最近点”，试判断f(x)的单调性.
解答提示
解答过程见word版
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【 】
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.
若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【 】