证 明 题（数学·2020年·新高考Ⅱ·理）
已知函数 f(x) = sin2xsin2x.
(1) 讨论 f(x) 在 (0,π)上的单调性;
(2) 证明: |f(x)| ⩽ 3
/8;
(3) 证明: sin2xsin22xsin24x . . . sin22nx ⩽ 3n/4n .
解答提示
(1) 已知函数 f(x) = sin2xsin 2x, 则f′(x) = cosx(sinxsin2x) + sinx(sinxsin2x)′= 2sinxcosxsin2x + 2sin2xcos2x= 2sinxsin3x.当x∈(0,π/3) ∪(2π/3, π) 时, f′(x) > 0; 当 x ∈ (π/3, 2π/3) 时, f′(x) < 0.所以 f(x) 在区间 (0,π/3) ∪(2π/3, π) 单调递增, 在区间 (π/3, 2π/3) 单调递减.(2) 因为 f(0) = f(π) = 0, 由 (1) 知，在区间 [0, π] 上, f(...
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函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
若 2a + log2a = 4b + 2log4b, 则【 】
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
已知函数 f(x) = ex − a(x + 2),(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有两个零点, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【 】
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.