证 明 题（数学·2023年·新高考Ⅱ）

已知函数f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²)，若x=0是f(x)的极大值点，求α的取值范围.

解答提示

令1-x²>0，得-1<x<1，即函数的定义域为(-1,1) ，若α=0，则f(x)=-ln⁡(1-x²),x∈(-1,1)，∵y=-lnu在定义域内单调递减，y=1-x²在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴f(x)=-ln⁡(1-x²)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，故x=0是f(x)的极小值点，不合题意，所以α≠0.当α≠0时，令b=|α|>0,∵f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²)=cos⁡(|α|x)-ln⁡(1-x²)=cosbx-ln⁡(1-x²),且f(-x)=cos⁡(-bx)-ln⁡[1-(-x)²]=cosbx-ln⁡(1-x²)=f(x)，所以函数f(x)在定义域内为偶函数,由题意可得：f' (x)=-bsinbx-2x/(x²-1),x∈(-1,1),(ⅰ)当0<b²≤2时，取m=min⁡{1/b,1},x∈(0,m)，则bx∈(0,1)，由(1)可得f' (x)=-bsin(bx)-2x/(x²-1)>b²x-2x/(x²-1)=(x(b²x²+2-b²))/(1-x²),且b²x²>0,2-b²≥0,1-x²>0,∴f' (x)>(x(b²x²+2-b²))/(1-x²)>0，即当x∈(0,m)⊆(0,1)时，f' (x)>0,∴f(x)在(0,m)上单调递增，根据偶函数的...

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