证 明 题（数学·2022年8月2日·东南地区）

若x_i为大于1的整数，记f(x_i)为x_i的最大素因数.令x_i+1=x_i-f(x_i)（i为自然数）.

(1)证明：对任意大于1的整数x₀，存在自然数k(x₀)，使得x_k(x0)+1=0;

(2)令V(x₀)为f(x₀ ),f(x₁ ),⋯,f(x_k(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

解答提示

记pi=f(xi)为一素数.(1)由定义，对于任意的i，若xi∈Z+,xi>1，容易知道xi>xi+1≥0是递减的整数列，且pi |xi+1.故对于任意初始的x0∈Z+,x0>1，这种递减只能进行有限多次.于是必然有某个自然数k，使得xk≥2,xk+1<2.但是由于xk+1≥0且pk |xk+1,xk+1不能为1，则必然有xk+1=0.(2)容易知道，pi是一个递增数列，而xi是一个严格递减数列，i=0,1,⋯,k.记i1,⋯,is为1,⋯,k中使得pil>pil-1的数，l=1,2,⋯,s，则V(x)=s+1.记q0=p0,ql=pil,l=1,2,⋯s，可知q0,⋯,qs为f(x0 ),⋯,f(xk)中的所有不同素数，并且qs>qs-1>⋯>q0.易知ql ql-1 |xil,l=1,2,⋯,s.令kl=xil/(ql ql-1 )，可知ks<ks-1<⋯<k1为一个严格递减正整数序列.首先我们证明s≤4，现反设s≥5，即V(x0 )≥6，则q5≥13,q4≥11⟹ x>13×11=143.若q0=2，则x0为2的次幂，因为x0≤781，故x0∈{256,512}，但以验证V(256)=2,V(512)=3，与V(x0 )≥6矛盾.类似地，可以验证q0≠3.所以q0≥5，于是q5≥19,q4≥17,q3≥13,q2≥11,q1≥7.于是我们有x0>17×19=323，故k5≤2,k4≤3.首先我们声明qs-1≤23，否则有x0>qs-1 qs≥29×31>781，矛盾.由定义，我们知道xil,xil+1,⋯,xil+1为一个等差数列，并且扫过ql (ql+1 kl+1)到ql (ql-1 kl)中所有的ql的倍数.故我们有如下性质:性质(ⅰ)：ql+1 kl+1<ql-1 kl并且ql+1 kl+1+1,⋯,ql-1 kl中每个数的最大素因子均≤ql.性质(ⅱ)：1-118之间的数每连续11至少有一个素数.性质(ⅲ)：若ql-1≥11，且ql-1 kl≤11...

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