证 明 题（数学·2022年7月·国际数学奥林匹克）

Let R⁺ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R⁺, there is exactly one y∈R⁺ satisfying：

xf(y)+yf(x)≤2.

译文：

设R⁺表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R⁺→R⁺，使得对任意x∈R⁺，恰好有一个y∈R⁺满足条件：xf(y)+yf(x)≤2.

解答提示

对任意正实数x，函数f(x)=1/x满足题意.代入条件使得xf(y)+yf(x)=x/y+y/x≥2=2，但xf(y)+yf(x)≤2，所以，对任意x∈R+，存在唯一实数y=x满足xf(y)+yf(x...

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