证 明 题（数学·2022年·全国甲·理）
已知函数f(x)=ex/x-lnx+x-a．
（1）若f(x)≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1．
解答提示
（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f' (x)=(1/x-1/x2 ) ex-1/x+1=1/x (1-1/x) ex+(1-1/x)=(x-1)/x (ex/x+1)，令f'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1),f' (x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1,+∞),f' (x)>0,f(x)单调递增，f(x)≥f(1)=e+1-a，若f(x)≥0,则e+1-a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(-∞,e+1].（2）由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x1<1<x2要证x1 x2<1,即证x1<1/x2 .因为x1,1/x2 ∈(0,1),即证f(x1 )>f(1/x2 )因为f(x1 )=f(x2 ),即证f(x2 )>f(1/x2 )即证ex/x-lnx+x-xe1/x-lnx-1/x>0,x∈(1,+∞)即证ex/x-xe1/x-2[lnx-1/2 (x-1/x)]>0下面证明x>1时，ex/x-xe1/x>0,lnx-1/2 (x-1/x)<0.设g(x)=...
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函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【 】
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.
若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【 】