证 明 题（数学·2022年·新高考Ⅱ）
已知函数f(x)=xeax-ex．
（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，证明：1/
+1/
+⋯+1/
>ln( n+1)．
解答提示
（1）当a=1时，f(x)=(x-1) ex，则f' (x)=xex，当x<0时，f' (x)<0，当x>0时，f' (x)>0，故f(x)的减区间为(-∞,0)，增区间为(0,+∞).（2）设h(x)=xeax-ex+1，则h(0)=0，又h' (x)=(1+ax) eax-ex，设g(x)=(1+ax) eax-ex，则g' (x)=(2a+a2 x) eax-ex，若a>1/2，则g' (0)=2a-1>0，因为g' (x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0,+∞)，使得∀x∈(0,x0 )，总有g' (x)>0，故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故h(x)在(0,x0)为增函数，故h(x)>h(0)=-1，与题设矛盾.若0<a≤1/2，则h' (x)=(1+ax) eax-ex=e^(ax+ln(1+ax) )-ex，下证：对任意x>0，总有ln(1+x)<x成立，证明：设S(x)=ln(1+x)-x，故S' (x)=1/(1+x)-1=(-x)/(1+...
查看完整答案，请下载word版
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.