证 明 题（数学·2022年·新高考Ⅰ）

已知函数 和g(x)=a^x-ln⁡x有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

解答提示

（1）f(x)=ex-ax的定义域为 ，而f' (x)=ex-a，若a≤0，则f' (x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.g(x)=ax-ln⁡x的定义域为(0,+∞)，而g' (x)=a-1/x=(ax-1)/x.当x<ln⁡a时，f' (x)<0，故f(x)在(-∞,ln⁡a )上为减函数，当x>lna时，f' (x)>0，故f(x)在(ln⁡a,+∞)上为增函数，故f(x)(ln⁡a ) ln⁡amin:当0<x<1/a时，g' (x)<0，故g(x)在(0,1/a)上为减函数，当x>1/a时，g' (x)>0，故g(x)在 (1/a,+∞)上为增函数，故g(x)(1/a) ln⁡1/amin:因为f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln⁡x有相同的最小值，故1-ln⁡1/a=a-a ln⁡a，整理得到(a-1)/(1+a)=ln⁡a，其中a>0，设g(a)=(a-1)/(1+a)-ln⁡a,a>0，则g' (a)=2/(1+a)2 -1/a=(-a2-1)/(a(1+a)2 )≤0，故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故(1-a)/(1+a)=ln⁡a的解为a=1.综上，a=1.（2）由（1）可得f(x)=ex-x和g(x)=x-ln⁡x的最小值为1-ln⁡1=1-ln⁡(1/1)=1.当b>1时，考虑ex-x=b的解的个数、x-ln⁡x=b的解的个数.设S(x)=ex-x-b，S' (x)=ex-1，当x<0时，S' (x)<0，当x>0时，S' (x)>0，故S(x)在(-∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，所以S(x)(0)min，而S(-b)=e-b>0，S(b)=eb-2b，设u(b)=eb-2b，其中b>1，则u' (b)=eb-2>0，故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故u(b)>u(1)=e-2>0，故S(b)>0，故S(x)=ex-x-b有两个不同的零点，即ex-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-ln⁡x-b，T' (x)=(x-1)/x，当0<x<1时，T' (x)<0，当x>1时，T' (x)>0，故T(x)...

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