1987年全国统考考研试题-代数-方程-线性方程组

证明题（理工数学Ⅰ·1987年·全国统考）

问a,b为何值时，线性方程组

有唯一解？无解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解.

解答提示

对增广矩阵进行初等变换，化为阶梯形：

→→,

可见，a≠1时有唯一解；a=1,b≠-1时无解；a=1,b=-1时有无穷多解，其通解为：

=k₁+k₂ +,其中k₁,k₂为任意常数.

代数

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

2000年全国统考考研试题72

2003年全国统考考研试题73

设a≠，则ln= .

2004年全国统考考研试题75

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.

方程

设x1-x2=a1,x2-x3=a2,x3-x4=a3,x4-x5=a4,x5-x1=a5。证明此方程组有解的充分必要条件为ai =0。

用LU方法求解方程组.

用Gauss消去法和Gauss列主元消去法求解方程组

设A为m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax ̅=β ̅有唯一解的充分必要条件为：.

设f(x)=，则f(x)=0的根为.

当λ,μ为何值时，方程组有惟一解？无解？有无穷解？无穷解时并求其全解.

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.

问a,b为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解.

问λ为何值时，线性方程组有解？并求出解的一般形式.

已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是【】

线性方程组

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

2003年春电子科技大学考博试题5774

设X1,X2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，Y1,Y2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，证明X=k1 (X1+X2 )+k2 (X1-X2 )+(3Y1-2Y2 ),k1,k2∈R是Ax=b的通解。

已知方程组I:，方程组II:问a,b为何值时方程组I和方程组II有相同的解？并求此相同解。

设X1=(0 2 0)T,X2=(-3 3 2)T是方程组的两个解，求此方程组的一般解。