证 明 题（数学·2021年·天津市）
已知a>0，函数f(x)=ax-xex.
(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切点的方程；
(2)证明函数f(x)存在唯一极值点；
(3)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意的x∈R成立，求实数b的取值范围.
解答提示
(1) f(0)=0,f' (x)=a-(x+1) ex,f' (0)=a-1.∴函数在点(0,f(0))处的切点的方程为(a-1)x-y=0.(2)证明f(x)仅有一个极值点，即证f' (x)=a-(x+1) ex=0有唯一解，即证a=(x+1) ex有唯一解，令g(x)=(x+1) ex，只需证g(x)的图像与直线y=a仅有一个交点.g'(x)=(x+2) ex,当x=-2时，g' (x)=0,当x<-2时，g' (x)<0,g(x)单调递减，当x>-2时，g' (x)>0,g(x)单调递增，当x=-2时，g(-2)=-e-2<0,当x→+∞时，g(x)→+∞，当x→-∞时，g(x)→0-,因为a>0，所以g(x)=(1+x)ex的图像与直线y=a仅有一个交点.(3)由题意知，存在a∈(0,+∞)，使得ax-xex≤a+b，对任意的x∈R恒成立，即存在a∈(0,+∞)，使得-b≤xex+a(1-x)，对任意的x∈R恒成立，令h(x)=xex+a(1-x)，则存在a∈(0,+∞),-b≤h(x)...
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设集合 A ={x | x2 −4 ⩽ 0},B ={x | 2x + a ⩽ 0}, 且 A∩B ={x |−2 ⩽ x ⩽ 1}, 则 a =【】
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 【】
已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
已知 A, B, C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙O1 为 △ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为 4π， AB = BC =AC = OO1，则球 O 的表面积为 【 】
设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.
已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .
函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
设函数 f(x) = cos (ωx + π/6 ) 在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【 】。
已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【 】
若 2a + log2a = 4b + 2log4b, 则【 】
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
已知函数 f(x) = ex − a(x + 2),(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有两个零点, 求 a 的取值范围.