2021年浙江省竞赛试题-代数-函数-三角函数

证明题（数学·2021年·浙江省）

设a₁=1,a_n=sina_n-1 (n≥2)，证明：a_n≥(n≥2).

解答提示

对n用数学归纳法.当n=2时，a2=sin1≥sin π/4=1/√2.设n=m时结论成立，则am≥,am+1=sinam≥sin.而仅需证明sin≥⟸sinx≥sin=(0≤x≤1) ⟸sin⁡(t...

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代数

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

2000年全国统考考研试题72

2003年全国统考考研试题73

设a≠，则ln= .

2004年全国统考考研试题75

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

函数

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

2004年春电子科技大学考博试题5797

2004年秋电子科技大学考博试题6458

2004年秋电子科技大学考博试题6459

2004年秋电子科技大学考博试题6460

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且f' (z)=0，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且在D内是解析的，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且|f(z)|在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

三角函数

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=.

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】