证 明 题（数学·2021年·新高考Ⅰ）
已知函数f(x)=x(1-lnx).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1/a+1/b<e.
解答提示
(1) f' (x)=1-lnx-1=-lnx当x∈(0,1)时f' (x)>0,f(x)↗;当x∈(1,+∞)时f' (x)<0,f(x)↘.∴f(x)在(0,1)单调递增，f(x)在(1,+∞)单调递减.(2)由blna-alnb=a-b得-1/a ln 1/a+1/b ln 1/b=1/b-1/a,即1/a (1-ln 1/a)=1/b (1-ln 1/b)令x1=1/a,x2=1/b，则x1,x2为f(x)=k的两个根，其中k∈(0,1).不妨令x1∈(0,1),x2∈(1,e)，则2-x1>1.先证x1+x2>2，即证x2>2-x1，即证f(x2 )=f(x1 )<f(2-x1).令h(x)=f(x)-f(2-x)，则h' (x)=f' (x1 )-f'(2-x)=-lnx-l...
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函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【 】
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.
若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【 】