证 明 题（数学·1999年·全国统考）

已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时，该图像是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列{x_n }由f(x_n)=n(n=1,2⋯)定义.

（Ⅰ）求x₁,x₂和x_n的表达式；

（Ⅱ）求f(x)的表达式，并写出其定义域；

（Ⅲ）证明：y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

解答提示

（Ⅰ）依题意f(0)=0，又由f(x1 )=1，当0≤y≤1时，函数y=f(x)的图像是斜率为b^0=1的线段，故由=1,得x1=1.又由f(x2 )=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图像是斜率为b的线段，故由=b即x2-x1=1/b得x2=1+1/b.记x_0=0由函数y=f(x)图像中第n段线段的斜率为bn-1，故得=bn-1又f(xn )=n,f(xn-1 )=n-1,∴xn-xn-1=(1/b)n-1,n=1,2⋯.由此知数列{xn-xn-1 }为等比数列，其首项为1，公比为1/b.因b≠1，得xn=(x_k-x_(k-1) ) =1+1/b+⋯+1/bn-1 =,即xn=.（Ⅱ）当0≤x≤1，从（Ⅰ）可知y=x，即当0≤x≤1是f(x)=x.当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由（Ⅰ）可知f(x)=n+bn (x-xn ) (xn≤x≤xn+1,n=0,1,2,3⋯).为求函数f(x)的定义域，须对xn=(b-(1/b)n-1)/(b-1) (n=0,1,2,3⋯)进行讨论.当b>1时，xn= =b/(b-1);当0<b<1...

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