证 明 题（数学·2020年11月·中国数学奥林匹克）
设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).
解答提示
记f(f(x)+y)|f(x+f(y))为(*)式.① 若∃a≠b,f(a)=f(b)，在(*)中取x=ab，有f(f(a)+y)|a-b 即 ∀x>f(a)有f(x)|(a-b),所以f(x)值域有限,设f(x)|N恒成立.设f(x)在x≥2处的值域为{a1<a2<a3<⋯<at}对充分大的y，存在x≥2,x∈N+，使(x+f(y),N)=1，代入(*)式有f(y+f(x))=1.即对每个y∈N+,y+a1,y+a2,…,y+ai之一记为y+b_y满足f(y+b_y )=1.对极大的M,考查1+b1,2+b2,…,(M-at )+b_(m-at ),在1~M中至少有f(x)=1的1+(M-at)/t个解，且必有两解差≤t，设为f(c)=f(d)=1.在(*)中取x...
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函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【 】。
若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 .
设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.
已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.
正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.
已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.
已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.
已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.
设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【 】
设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【 】
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.
若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【 】