1981年全国统考高考试题-代数-函数-指数与对数函数

证明题（数学·1981年·全国统考）

设1980年底我国人口以10亿计算.

(1) 如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

(2) 要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增最高是多少？

下列对数值可供选用：

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396

lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860

lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200

lg1.5157=0.18060

解答提示

(1) 所求人口数x(亿)是等比数列10,10×1.02,10×(1.02)2,⋯的第21项，即x=10×(1.02)20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴ x=14.859(亿)(2) 设人口每年比上年平均递增...

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代数

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

若 x, y 满足约束条件则 z = x + 7y 的最大值为 .

设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ + 3 = 0.(1) 当 k = 1 时, C1 是什么曲线?(2) 当 k = 4 时, 求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标.

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.

若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.

求19x+93y=4xy的整数解的组数.

已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

函数

设函数 f(x) = cos (ωx + π/6 ) 在 [−π, π] 的图像大致如下图, 则 f(x) 的最小正周期为【】。

已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【】

已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.

若 α 为第四象限角, 则【】

设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【】

已知函数 f(x) = sin2xsin2x.(1) 讨论 f(x) 在 (0,π)上的单调性;(2) 证明: |f(x)| ⩽ 3/8;(3) 证明: sin2xsin22xsin24x . . . sin22nx ⩽ 3n/4n .

设函数 f(x) = x3 − 1/x3 , 则 f(x)【】

若 sinx = −2/3, 则 cos2x = .

已知函数 f(x) = 2ln x + 1.(1) 若 f(x) ⩽ 2x + c, 求 c 的取值范围;(2) 设 a > 0, 讨论函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 的单调性.

已知 sinθ + sin(θ + π/3) = 1, 则 sin(θ + π/6) =【】

指数与对数函数

若 2a + log2a = 4b + 2log4b, 则【】

设 alog34 = 2, 则 4−a =【】

已知函数 f(x) = ex − a(x + 2),(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有两个零点, 求 a 的取值范围.

Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t) (t 的单位: 天) 的 Logistic 模型: I(t) = , 其中 K 为最大确诊病例数. 当 I(t∗) = 0.95K 时, 标志已初步遏制疫情, 则 t∗ 约为 (ln19 ≈ 3)【】

基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I(t) = ert 描述累计感染病例数 I(t) 随时间 t (单位: 天) 的变化规律, 指数增长率 r 与 R0, T 近似满足 R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出 R0 = 3.28, T = 6. 据此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2 ≈ 0.69)【】

已知 1 < a ⩽ 2, 函数 f(x) = ex − x − a, 其中 e = 2.71828 … 为自然对数的底数.(I) 证明: 函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上有唯一零点;(II) 记 x0 为函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上的零点, 证明:(i) ≤x0≤;(ii) x0 f()≥(e-1)(a-1)a .

1978年全国统考高考试题2442

已知log189=a(a≠2)，18b=5，求log3645.

美国的物价从 1939 年的 100 增到四十年后 1979年的 500 ，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：自然对数 Inx 是以 e = 2.718 … 为底的对数．本题中增长率 x < 0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3 , In10=2.3 来计算．)

证明对数换底公式：logbN=logaN/logab.(a,b,N都是正数，a≠1,b≠1)