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设 ,则 , 解得: 或 , 当 时,点 P 与点 A 重合,不合题意,舍去, 当 时, , 存在这样的 m 值,使 BE=BF.此时 .

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数,全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用,解题的关键是得出二次函数的关系式,是对知识的综合考查.