2024年日本竞赛试题-离散数学-逻辑推理

证明题（数学·2024年·日本）

2024 × 2024 方格网中的每个小方格都被染上红、蓝、白三色之一。在每个红色小方格内放置一枚红色棋子,在每个蓝色小方格内放置一枚蓝色棋子。此外，对于白色小方格，若它与至少一个蓝色小方格有公共边或公共顶点，则在其中放置一枚蓝色棋子。假设对于任意的 2×2 方格，其中的红色棋子和蓝色棋子个数相同，且均为一个或两个。求白色小方格个数的最大可能值。

解答提示

暂无答案

竞赛

规定：（→2）表示向右移动2记作+2，（←3）表示向左移动3记作【】。

如果温度上升2°C记作+2°C，那么温度下降3°记作【】。

5的相反数是【】。

-1的相反数是【】。

实数2019的相反数是【】。

-的相反数是【】。

-3的绝对值是【】。

|-6|等于【】。

-1/5的绝对值是【】。

如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数。下列检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是【】。

离散数学

按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是【】。

按下面程序计算:输入x=3，则输出的答案是.输入x → 立方 → -x → ÷2 → 答案

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.验证:如，(2+1)2+(2-1)2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和，探究：设“发现”中的两个已知正整数为m,n，请论证“发现”中的结论正确。

下列命题是真命题的有【】①对顶角相等;②两直线平行，内错角相等;③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形···按这样的规律下去，第7幅图中有个正方形.

如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有.

观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳.

下列命题正确的是【】

下面哪一个是假命题【】

下面命题正确的是【】

逻辑推理

阅读下列材料：1×2=1/3·(1×2×3-0×1×2),2×3=1/3·(2×3×4-1×2×3),3×4=1/3·(3×4×5-2×3×4),由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5=20.读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2+2×3+3×4+⋯+10×11(写出过程);(2) 1×2+2×3+3×4+n×(n+1)=;(3) 1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+7×8×9=.

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.(1)表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数;(3)求第n行各数之和.

观察下列等式：第1个等式：a1=1/(1×3)=1/2×(1-1/3);第2个等式：a2=1/(3×5)=1/2×(1/3-1/5);第3个等式：a3=1/(5×7)=1/2×(1/5-1/7);第4个等式：a4=1/(7×9)=1/2×(1/7-1/9);…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5=;(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an==(n为正数)；(3)求a1+a2+a3+⋯+a100的值.

观察下列算式,用你所发现的规律得出22015的末位数字是【】21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…

下列命题是真命题的个数有【】①垂直于半径的直线是圆的切线②平分弦的直径垂直于弦③若是方程x-ay=3的一个解，则a=-1④若反例函数y=-3/x的图像上有两点(1/2,y1),(1,y2)，则y1≤y2.

如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是.

下列命题①方程x2=x的解是x=1；②4的平方根是2；③有两边和一角相等的两个三角形全等；④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形；其中正确的个数有【】

如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为【】

按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6,…，第n个单项式是【】

下列命题中，为真命题的是【】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形