证 明 题（数学·2001年·上海市）

对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f(x₀ )；②若x₁∉D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f(x₁ )，并依此规律继续下去，现定义f(x)=(4x-2)/(x+1).

（Ⅰ）若输入x₀=49/65，则由数列发生器产生数列{x_n }，请写出数列{x_n }的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器生产一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值.

（Ⅲ）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n }满足：对任意正整数n，均有x_n<x_n+1，求x₀的取值范围.

解答提示

（Ⅰ）∵f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)，∴数列{xn }，只有三项：x1=11/19,x2=1/5,x3=-1，（Ⅱ）∵f(x)=(4x-2)/(x+1)=x，即x^2-3x+2=0,∴x=1或x=2.即当x0=1或2时，xn+1=(4xn-2)/(xn+1)=xn，故当x0=1时，xn=1当x0=2时，xn=2(n∈N).（Ⅲ）解不等式x<(4x-2)/(x+1)，得x&l...

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