证 明 题（数学·2024年·阿里巴巴）

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)ⁿ，被击落的概率为1-(0.85)ⁿ，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。

问题部分：

(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?

(A)1      (B)2      (C)3      (D)4

(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?

(A)2    (B)4    (C)6    (D)8

解答提示

(1)B  (2)A

解答过程见word版.