证 明 题（数学·2015年·广东省）

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过⏜BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB.

(1)如图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

(2)如图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

(3)如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

解答提示

(1)∵AB为⊙O直径，点P是⏜BC的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=1/2 OP=1/2 OB.∴cos∠BOD=OD/OB=1/2. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB. ∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.(2)证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.(3)证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB...

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