证 明 题（数学·2022年·海南省）

如图1，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E.

(1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；

(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F.

①证明FA=FP，并求出在(1)条件下AF的值；

②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；

③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'=2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由.

解答提示

(1)如图，在矩形ABCD中，AB//DC,即AB//DE，∴∠1=∠E，∠2=∠B，∵P是BC的中点，∴BP=CP,∴△ABP≌△ECP(AAS).(2)①如图，在矩形ABCD中，AD//BC,∴∠3=∠FAP.由折叠可知∠3=∠4，∴∠FAP=∠4,∴FA=FP.在矩形ABCD中，BC=AD=8，∵点P是BC的中点，∴BP=1/2 BC=4.由折叠可知，AB'=AB=6,PB'=PB=4,∠B=∠AB' P=∠AB' F=90°.设FA=x，则FP=x,FB'=x-4.设Rt△AB'F中，由勾股定理得AF2=B' A2+B' F2，∴x2=62+(x-4)2，解得x=13/2，即AF=13/2.②如图，由折叠可知，AB'=AB=6,B' P=BP,∴三角形PCB'的周长为CP+PB'+CB'=CB+CB'=8+C...

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