证 明 题（数学·2022年·山西省）

问题情境:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.猜想证明：

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由.

问题解决：

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长;

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长.

解答提示

(1)四边形AMDN为矩形.理由如下：∵M为AB的中点，D为BC的中点，∴MD//AC又AC⊥AB，∴MD⊥AB,∠AMD=90°∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°∴四边形AMDN为矩形.(2)在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=6,AC=8,∴BC=10,∵D是BC的中点，∴CD=1/2 BC=5.∵∠MDB+∠1=90°,∠MDB=∠B,∠B+∠C=90°∴∠1=∠C∴ND=NC.过点N作NG⊥BC于点G,则CG=1/2 CD=5/2.易知△CGN∼△CAB,∴CG/CA=CN/CB，解得: ...

查看完整答案，请下载word版