证 明 题（数学·2022年·河北省）

如图，四边形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,∠C=30°,AD=3,AB=2√3,DH⊥BC于点H,将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q=90°,∠QPM=30°,PM=4√3.

(1)求证：△PQM≅△CHD;

(2) △PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止.

①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积;

②如图2点K在BH上，且BK=9-4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旅转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长;

③如图3在△PQM旋转过程中，设PQ,PM分别交BC于点E,F，若BE=d，直接写出CF的长(用含d的式子表示).

解答提示

(1)∵AD//BC,DH⊥BC∴DH⊥AD则在四边形ABHD中，∠ABH=∠BHD=∠HDA=90°,故四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2√3,BH=AD=3.在Rt△DHC中，∠C=30°∴CD=2DH=4√3,CH=√3 DH=6.∵∠DHC=∠Q=90°,∠C=∠QPM=30°,CD=PM=4√3∴△PQM≅△CHD(AAS)(2)①过点Q作QS⊥AM于S由(1)得AQ=CH=6在Rt△AQS中，∠QAS=30°∴AS=√3/2 AQ=3√3.平移扫过的面积：S1=AD∙AS=3×3√3=9√3旋转扫过的面积：S2=(50°)/(360°)∙π∙PQ2=(50°)/(360°)∙π∙62=5π故边PQ扫过的面积：S=S1+S2=9√3+π.②运动分两个阶段：平移和旋转.平移阶段：KH=BH-BK=3-(9-4√3)=4√3-6∴t1=KH/v=(4√3-6)s旋转阶段：PM=2DM取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH,GM，过点G作GT⊥DM于T,设∠KDH=θ，则∠GHM=2θ在Rt△DKH中：KH=BH-BK=4√3-6=2√3(2-√3) DK===4√3× 设t= ，则KH=2√3 t2,DK=4√...

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