证 明 题（数学·2022年·天津市）

将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),A(3,0),C(0,6)，点P在边OC上(点P不与点O,C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q,且∠OPQ=30°，点O的对应点O'落在第一象限.设OQ=t.

(I)如图①，当t=1时，求∠O'QA的大小和点O'的坐标:

(Ⅱ)如图②，若折叠后重合部分为四边形，O' Q,O'P分别与边AB相交于点E,F，试用含有t的式子表示O'E的长，并直接写出t的取值范围:

(Ⅲ)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________(请直接写出两个不同的值即可).

解答提示

(I)在Rt△POQ中，由∠OPQ=30°可知∠OQP=90°-30°=60°.根据折叠，知△POQ≅△PO'Q，∴O' Q=OQ,∠O' QP=∠OQP=60°,∴∠O' QA=180°-∠OQP-∠O' QP=60°.如图，过点O'作O'H⊥OA，垂足为H，则∠O' HQ=90°.∴在Rt△O'HQ中，∠QO' H=90°-∠O' QA=30°.由t=1得OQ=1,O' Q=1.由QH=1/2 O' Q=1/2,O' H2+QH2=O' Q2得OH=OQ+QH=3/2,O' H==√3/2.∴点O'的坐标为(3/2,√3/2). (Ⅱ)∵点A(3,0),∴OA=3,又OQ=t，∴QA=OA-OQ=3-t.由(I)知O' Q=t,∠O' QA=6...

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