证 明 题（数学·2021年·北京市）

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B',C'分别是BC的对应点)，则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A，B₁，C₁，B₂，C₂，B₃，C₃的横、纵坐标都是整数，在线段B₁C₁，B₂C₂， B₃C₃中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________;

(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0，t)，其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

(3)在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是△O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长。

解答提示

(1)由题意得：通过观察图像可得：线段B2 C2绕A旋转90°可得到⨀O的“关联线段”，B1 C1,B3 C3都不能绕点A旋转得到.(2)由题意可得：当BC是⨀O的以点A为中心的“关联线段”时，有△AB'C'是等边三角形，且边长为1，当点A在y轴的正半轴时，如下左图： 设B'C'与y轴的交点为D，连接OB'，易得B'C'⊥y轴，∴B' D=DC'=1/2,∴OD==√3/2,AD==√3/2∴OA=√3,∴t=√3.当点A在y轴的负半轴时，如右图所示，同理可得OA=√3,∴t=-√3.(3)由于BC是⨀O的以点A为中心的“关联线段”，可知B',C'都在⨀O上，且AB'=AB=1,AC'=AC=2,则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到A点的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可...

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