证 明 题（数学·2021年·广东省深圳市）

探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、1/2倍、k倍。

(1)若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍?________(填“存在”或“不存在”)。

(2)继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍?

同学们有以下思路:

①设新矩形长和宽为x,y，则依题意有x+y=10，xy=12，得x²-10x+12=0，再探究根的情况;

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的1/2倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明l₁:y=-x+10 ,l₂:y=12/x.那么，

a.是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍?________.

b.请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的1/2，若存在，用图像表达:

c.请直接写出当结论成立时k的取值范围:____________.

解答提示

(1)由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，对应的边长为4和2√2，不合题意.∴不存在满足条件的新正方形.(2)①设新矩形长和宽为x,y,则依题意有，得2x2-5x+6=0,∵∆=(-5)2-4×2×6=-23<0，∴方程无解∴不存在新矩形使得其周长和面积均为原矩形的1/2倍.②a:从原题图像看来，函数y=-x+10和函数y=12/x的图像在第一象限有两个...

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