证 明 题（数学·1978年·全国统考）
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)
(1) m是什么数值时，y的极值是0？
(2) 求证：不论m是什么数值，函数图像（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图，来检验这个结论.
(3) 平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？
求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.
解答提示
(1) y=x2+(2m+1)x+m2-1= (x+(2m+1)/2)2-(4m+5)/4∴y的极小值为-(4m+5)/4.∴当y的极小值为0时，4m+5=0,m=-5/4.(2) 函数图像抛物线的顶点坐标为(-(2m+1)/2,-(4m+5)/4)，即 x=-(2m+1)/2=-m-1/2，y=-(4m+5)/4=-m-5/4，两式相减得 x-y=3/4，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图像是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么数值，抛物线的顶点都在这条直线l1:x-y=3/4上.当m=-1,0,1时，x,y之间的函数关系为y+1/4=(x-1/2)2 y+5/4=(x+1/2)...
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若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【 】
如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的 点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【 】
已知 △ABC 是面积为(9)/4 的等边三角形, 且其顶点都在球 O 的球面上, 若球 O 的表面积为 16π, 则 O到平面 ABC 的距离为【 】
设 a, b 为单位向量, 且 |a + b| = 1, 则 |a − b| =.
已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 .
已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.
已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【 】
设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的 面积为【 】
已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
设 O 为坐标原点, 直线 x = 2 与抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 交于 D, E 两点, 若 OD ⊥ OE, 则 C 的焦点坐标为【 】
斜率为 的直线过抛物线 C : y2 = 4x 的焦点, 且与 C 交于 A, B 两点, 则 |AB| =.
设抛物线的顶点为 O, 焦点为 F , 准线为 l. P 是抛物线上异于 O 的一点, 过 P 作 PQ ⊥ l 于 Q, 则线段 FQ 的垂直平分线【 】
抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.