证 明 题（数学·2020年·贵州省贵阳市）

如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．

（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_____，位置关系是______；

（2）问题探究：如图②，ΔAO'E是将图①中的ΔAOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断ΔPQB的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，ΔAO'E是将图①中的ΔAOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求ΔPQB的面积．

解答提示

（1）PQ=1/2 BO，PQ⊥BO；（2）ΔPQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O' P并延长交BC于点F，由正方形的性质及旋转可得AB=BC，∠ABC=90°，ΔAO' E是等腰直角三角形，O' E//BC，O' E=O' A∴∠O' EP=∠FCP，∠PO' E=∠PFC．又∵点P是CE的中点，∴CP=EP．∴ΔO' PE≅ΔFPC(AAS)∴O' E=FC=O' A，O' P=FP．∴AB-O' A=CB-FC，∴BO'=BF．∴ΔO' BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O' F，O' P=BP．∴ΔBPO'也为等腰直角三角形又∵点Q为O' B的中点，∴PQ⊥O' B，且PQ=BQ．∴ΔPQB的形状是等腰直角三角形．图② （3）延...

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