证 明 题（数学·2023年·北京市）

设函数f(x)=x-x³e^ax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.

(1)求a,b的值；

(2)设g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(3)求f(x)极值点的个数.

解答提示

(1)由f(x)=x-x³ eax+b,x∈R得f' (x)=1-(3x²+ax³ ) eax+b，∵f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,∴f(1)=-1+1=0,f' (1)=-1，则，解得；(2)由(1)得g(x)=f' (x)=1-(3x²-x³ ) e-x+1 (x∈R),则g' (x)=-x(x²-6x+6) e-x+1，令x²-6x+6=0，解得x=3±√3，不妨设x1=3-√3,x2=3+√3，则0<x1<x2，易知e-x+1>0恒成立，令g' (x)<0，解得0<x<x1或x>x2；令g' (x)>0，解得x<0或x1<x<x2，所以，g(x)在(0,x1 ),(x2,+∞)上单调递减，在(-∞,0),(x1,x2 )上单调递增，即g(x)的单调递减区间为(0,3-√3)和(3+√3,+∞),单调递增区间为(-∞,0)和(3-√3,3+√3)；(3)由(1)得f(x)=x-x³ e-x+1 (x∈R),f'(x)=1-(3x²-x³ ) e-x+1，由(2)知f'(x)在(0,x1 ),(x2,+∞)上单调递减，在(-∞,0),(x1,x2 )上单调递增，①当x<0时，f' (-1)=1-4e²<0,f' (0)=1>0，即f' (-1) f' (0)<0,所以，f' (x)在(-∞,0)上存在唯一零点，不妨设为x3，则-1<x3<0，因此，当x<x3时，f' (x)<0，f(x)单调递减；当x3<x<...

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