证 明 题（数学·2020年·天津市）
已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.
(I) 当 k = 6 时,
(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;
(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;
(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .
解答提示
(I) (i) 当 k = 6 时, f(x) = x3 + 6lnx, 故f' (x)=3x2+6/x , 可得 f(1) = 1, f′(1) = 9. 所以曲线 y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y − 1 = 9(x − 1), 即 y = 9x − 8.(ii) 依题意, g(x)=x3-3x2+6lnx+3/x, x ∈ (0, +∞), 从而可得g'(x)=3x2-6x+6/x-3/x2 , 整理可得g' (x)=3(x-1)3 (x+1)/x2 .令 g′(x) = 0, 解得 x = 1. 当 x 变化时, g′(x), g(x) 的变化情况如下表: 所以, 函数 g(x) 的单调递减区间为 (0, 1), 单调递增区间为 (1, +∞); g(x) 的极小值为 g(1) = 1, 无极大值.(II) 由 f(x)=x3+klnx, 得 f'(x)=3x2+x/k. 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 令 x1/x2 =t (t > 1), 则(x1-x2 )(f' (x1)+f' (x2 ))-2(f(x1)-f(x2)) =(x1-x2)(3+k/x1 +3+k/x2 )-2(-+kln x1/x2 )=--3 x2+3x1+k(x1/x2 -x2/x1 )-2klnx1/x2 =(t3-3t2...
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已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【 】。
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