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证 明 题（数学分析·2022年·东北大学）
设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：
xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)
解答提示
由1/x+lnx≥1知，1/xn +lnxn≥1>1/xn+1 +lnxn，∴1/xn >1/xn+1 ⟹xn<xn+1,即数列{xn}单调递增.又由于1/xn+1 +lnxn<1，∴lnxn<1-1/xn+1 <1，∴...
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已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.
函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.