证 明 题（数学分析·2022年·华中科技大学）
已知函数f(x)在[a,b]上可积，且
f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：
g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：
f(x)g(x,h)dx=A
解答提示
由已知：A=A∙g(x,h) dx,故只需证明：(f(x)-A)g(x,h) dx=0即可.|(f(x)-A)g(x,h) dx|≤|(f(x)-A)g(x,h) dx|+|(f(x)-A)g(x,h) dx|≤|f(x)-A|g(x,h) dx+|f(x)-A|g(x,h) dx令c-a<h，则当h→0+时，c→a+，∵f(x)=A∴对∀ε>0,∃δ1>0，当0<x-a<h<δ1时，|f(x)-A|<ε.又g(x,h) dx<g(x,h) dx，且g(x,h) dx=1，由极限保号性知，对上述ε,∃δ2，当0<h<δ2时，有g(x,h) dx<3/2取δ_3=min{δ1,δ2...
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已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.
函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.