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证 明 题（数学分析·2022年·同济大学）
验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.
解答提示
对∀ε>0,取δ=ε，对∀x1,x2∈[1,+∞)，当|x1-x2 |<δ=ε时，∃ξ∈(x1,x2),使得|f(x1 )-f(x2 )|=|f' (ξ)||x1-x2 |=1/ξ |x1-x2 |<|x1-x2 |<ε故f(x)=lnx在[1,...
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函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .