1992年北京市竞赛试题-代数-连续

证明题（1992年·北京市）

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数e^xf(x)与函数e^-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

解答提示

对∀x0∈(0,1)，证明f(x)在x0的连续性性，首先考虑右连续当0<x0<1时，由于e-f(x)单调递增，故e-f(x0)≤e-f(x)，可知f(x0)≥f(x)又因为exf(x)单调...

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竞赛

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .

代数

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

2000年全国统考考研试题72

2003年全国统考考研试题73

设a≠，则ln= .

2004年全国统考考研试题75

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=.

连续

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是.