证 明 题（数学·2022年·浙江省）

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0)．

（1）求f(x)的单调区间；

（2）已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x₁,f(x₁ )),(x₂,f(x₂ )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b)．证明：

（ⅰ）若a>e，则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)；

（ⅱ）若0<a<e,x₁<x₂<x_3，则2/e+(e-a)/(6e² )<1/x₁ +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e² )．

（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）

解答提示

（1）f' (x)=-e/(2x2 )+1/x=(2x-e)/(2x2 )，当0<x<e/2，f' (x)<0；当x>e/2，f' (x)>0，故f(x)的减区间为(0,e/2)，f(x)的增区间为(e/2,+∞).（2）（ⅰ）因为过(a,b)有三条不同的切线，设切点为(xi,f(xi )),i=1,2,3，故f(xi )-b=f' (xi )(xi-a)，故方程f(x)-b=f' (x)(x-a)有3个不同的根，该方程可整理为(1/x-e/(2x2 ))(x-a)-e/2x-ln⁡x+b=0，设g(x)=(1/x-e/(2x2 ))(x-a)-e/2x-ln⁡x+b，则g' (x)=1/x-e/(2x2 )+(-1/x2 +e/x3 )(x-a)-1/x+e/(2x2 )=-1/x3 (x-e)(x-a)，当0<x<e或x>a时，g' (x)<0；当e<x<a时，g' (x)>0，故g(x)在(0,e),(a,+∞)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0，故(1/e-e/(2 e 2 ))(e-a)-e/2e-ln⁡e+b<0且(1/a-e/(2a2 ))(a-a)-e/2a-ln⁡a+b>0，整理得到：b<a/2e +1且b>e/2a+ln⁡a=f(a)，此时b-f(a)-1/2 (a/e-1)<a/2e+1-(e/2a+ln⁡a )-a/2e+1/2=3/2-e/2a-ln⁡a，设u(a)=3/2-e/2a-ln⁡a，则u' (a)=(e-2 a)/(2a2 )<0，故u(a)为(e,+∞)上的减函数，故u(a)<3/2-e/2e-ln⁡e=0，故0<b-f(a)<1/2 (a/e-1) （ⅱ）当0<a<e时，同（ⅰ）中讨论可得：故g(x)在(0,a),(e,+∞)上为减函数，在(a,e)上为增函数，不妨设x1<x2<x3，则0<x1<a<x2<e<x3，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e)>0，故(1/e-e/(2 e 2 ))(e-a)-e/2e-ln⁡e+b>0且(1/a-e/(2a2 ))(a-a)-e/2a-ln⁡a+b<0，整理得到：a/2e +1<b<a/2e +ln⁡a，因为x1<x2<x3，故0<x1<a<x2<e<x3，又g(x)=1-(a+e)/x+ea/(2x2 )-ln⁡x+b，设t=e/x，a/e=m∈(0,1)，则方程1-(a+e)/x+ea/(2x2 )-ln⁡x+b=0即为：...

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