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证 明 题（数学分析·2022年·北京理工大学）
已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在，证明：
(1)函数f(x)有界；
(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.
解答提示
(1)由已知条件，可设f(x)=A，根据极限的定义，对于给定的ε0=1,∃M>0，使得当x>M>a时，有|f(x)-A|<ε0=1，即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|A|+1，所以f(x)在(M,+∞)上有界；又因f(x)在[a,M]上连续，则f(x)在[a,M]上有界；综上，f(x)在[a,+∞)上有界.(2)①若对∀x∈[a,+...
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函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .