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证 明 题（数学分析·2022年·中国科学院）
若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.
解答提示
假设∃n，对∀ξn∈[0,1]都有f(ξn+1/n)≠f(ξn )+1/n.令F(x)=f(x+1/n)-f(x)-1/n，根据假设知F(x)在[0,1]上无零点，又F(x)在[0,1]上连续，所以F(x)在[0,1]上不变号.将[0,1]区间n等分，记xk=k/n,k=0,1,…,n，根据题目条件有：0=f(0)-0+[(f...
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函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .